Sex & Drugs & Rock & Roll

Wie der Titel schon zum Ausdruck bringt, werde ich mich in diesem Artikel ein klein wenig mit unseren Rentensystem beschäftigen. Wir leiten gemeinsam die Gleichung her, mit der wir theoretisch das Umlagesystem untersuchen können.

In einem Umlagesystem werden die Einzahlungen nicht in einen Tresor gepackt und dann nach 40 Jahren wieder rausgeholt. Sie werden auch nicht gegen Zinsen verliehen. In einem Umlagesystem werden die Einzahlungen direkt weitergeleitet an die Rentner, so dass für z.B. einen Monat gilt:
$$R=E$$ Wobei $E$ die gesamten Einzahlungen in das Rentensystem darstellen und $R$ die Summe aller Rentenzahlungen.

$E$ ist dabei die Summe aller Einzeleinzahlungen, also z.B. der ganz konkrete Bruttolohn eines Arbeiters multipliziert mit dem Rentenbeitragssatz. Bei beispielhaften 1000,- Euro Lohn und 20% Beitragssatz wären das dann 200,- Euro.

Gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass es keine Beitragsbemessungsgrenzen gibt und wirklich jedes Einkommen ab dem ersten Cent so belastet wird, dann können wir die Gesamteinnahmen $E$ beschreiben als das Durchschnittseinkommen $\bar{e}$, multipliziert mit dem Beitragssatz $b$ und der Anzahl der Einzahler $n_e$: $$E=\bar{e}·b·n_e$$ Die so zusammenkommende Summe wird nun unter den Rentnern aufgeteilt. Je nach Rentenpunkten und anderen Kriterien bekommt der eine mehr Rente und der andere weniger. Summieren wir diese Renten jedoch alle auf und teilen sie durch die Anzahl der Rentner $n_r$, bekommen wir die Durchschnittrente $\bar{r}$ und wir können schreiben: $$R=\bar{r}·n_r$$ Fügen wir nun beides zusammen bekommen wir die Gleichung: $$\bar{r}·n_r=\bar{e}·b·n_e$$ Nun haben wir hier viele Größen, die uns den Blick auf's wesentliche versperren, weswegen wir einige zusammenfassen wollen.

Zunächst interessiert uns die jeweils absolute Anzahl der Einzahler und Rentner nicht; um wie viele Millionen Menschen es sich jeweils konkret handelt ist und egal. Uns interessiert im weiteren vielmehr das Verhältnis der beiden zueinander, weswegen wir beide Seiten der Gleichung durch $n_r$ dividieren und so dass Einzahler-Rentner-Verhältnis $v$ erhalten: $$v=\frac{n_e}{n_r}$$ Gibt es genausoviel Einzahler wie Rentner ist $v$ gleich 1. Haben wir 5 mal mehr Einzahler als Rentner ist $v$ gleich 5 und sollte es umgekehrt sein, so hätte $v$ die Größe 0,2.

Damit würde unsere Gleichung jetzt so aussehen: $$\bar{r}=\bar{e}·b·v$$ Jetzt haben wir noch die konkrete Durchschnittrente und das Durchschnittseinkommen in unserer Formel. Die interessieren uns aber auch nicht, sondern vielmehr eben auch das Verhältnis der Rente zum verfügbaren Einkommen der Nichtrentner.

Verfügbar heißt dabei, dass wir nur den Anteil des Einkommens betrachten, der nach Abzug des Rentenbeitrags übrig bleibt, also $e-b·\bar{e}$ oder $(1-b)·\bar{e}$.

Wir dividieren beide Seiten der Gleichung also durch diesen Term und erhalten: $$\frac{\bar{r}}{(1-b)·\bar{e}}=\mathrm{RN}=\frac{\bar{e}·b}{(1-b)·\bar{e}}·v$$ Wobei wir das beschriebene Verhältnis als Rentenniveau $\mathrm{RN}$ bezeichnen. Damit gelangen wir zu unserer endgültigen Gleichung: $$\mathrm{RN}=\frac{b}{1-b}·v$$ In dieser sind nur noch drei Größen enthalten: Das Rentenniveau, der Beitragssatz und das Verhältnis von Einzahlern und Rentnern. Wie sich diese Größen im Rahmen eines Umlagesystem gegenseitig beeinflussen, können wir mit dieser Formel untersuchen. Welche politischen, wirtschaftlichen ist soziale Möglichkeiten es gibt, diese Größen zu beeinflussen, werden wir irgendwann in späteren Artikeln untersuchen. Ebenso, wie ich auch noch einige empirische Daten zu diesem Thema anführen möchte.

Bis dahin bleibt fit und tanzt, egal wie alt ihr seid.